Cryptarithmes.

Généralités.

Un "cryptarithme" (en anglais : cryptarithm, cryptarithmic, cryptarithmetic, alphametic etc.) est une opération arithmétique dans laquelle chaque chiffre a été remplacé par une lettre. Il y a une correspondance bi-univoque entre lettres et chiffres : une même lettre représente toujours le même chiffre, deux lettres différentes représentent deux chiffres différents.

Le but du jeu est, à partir de l'opération en lettres, de retrouver la correspondance entre lettres et chiffres qui donne un résultat exact.

La présente page résoud les cryptarithmes du type le plus courant constitués d'une addition d'un nombre quelconque de termes.

Les cryptarithmes les plus intéressants sont ceux dont les mots ont un rapport entre eux, voire forment une phrase. Un cas particulier très prisé des amateurs est celui des opérations (exactes) écrites en toutes lettres. Par exemple : NEUF + UN + UN = ONZE est vrai, et le reste si on remplace les lettres E, F, N, O, U et Z par les chiffres 9, 7, 1, 2, 8 et 4 ce qui donne : 1987 + 81 + 81 = 2149.

Les puristes ne considèrent comme de vrais cryptarithmes que ceux qui possèdent une solution unique (une seule substitution des lettres par des chiffres donne une addition exacte). Les exemples de cette page ne respectent pas tous cette règle. En revanche ils respectent celle qui veut que le premier chiffre d'un nombre ne soit jamais égal à zéro.

Exemples.

Voici quelques exemples de cryptarithmes qui ont été trouvés par des amis ou par moi-même. Il se peut qu'ils soient déjà connus ailleurs. Ceux dont la solution est unique sont marqués d'un astérisque.

CRYPTA + RITHME = TRAITRE (Eric Angelini)
CRYPTA + RITHME = EMPETRE * (Nicolas Graner)
OASIS + SOLEIL = MIRAGE * (Philippe Deschamp)
COCA + COLA = PEPSI (Philippe Deschamp)
EPOUX + EPOUSE = COUPLE (Philippe Deschamp)
MARI + FEMME + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT + ENFANT = FAMILLE * (Eric Angelini)
(les seuls nombres d'enfants qui donnent une solution unique sont 12 et 18)
FRERE + SOEUR = BASTON * (Xavier Gélard)
LIGNE + LIGNE + LIGNE + LIGNE = TEXTE * (Eric Angelini)
MI + RE + DIESE + MI + RE + DIESE + MI = ELISE (Nicolas Graner)
(on reconnaît le début de la "lettre à Élise" de Beethoven)
NERVAL + ABACLAR = AVATARS (Camille Abaclar)
ARGENT + ARGENT = BONHEUR * (Eric Angelini)
ARGENT + ARGENT = MALHEUR * (Eric Angelini)
(il y a également une solution unique pour le BONHEUR avec d'autres quantités d'ARGENT, jusqu'à 95. Pour le MALHEUR, le maximum est de 72. Comme quoi il ne faut pas toujours croire les proverbes.)
MARS + SATURNE + NEPTUNE = PLANETES * (Eric Angelini)
VENUS + TERRE + MARS + SATURNE + URANUS = NEPTUNE * (Eric Angelini)
BLEUET + CELOSIE + LOTUS + SOLEIL + SOUCI = BOUQUET * (Eric Angelini)
ASTATE + HELIUM + LANTHANE + LITHIUM + LUTETIUM + TANTALE + THALLIUM + TITANE = ELEMENTS * (Eric Angelini)
NOIR + NOIR = BLANC (Michel Clavel)
EAU + FEU = RIEN (Michel Clavel)
ROUGE + GORGE = OISEAU (Michel Clavel)
CHIEN + DENT = HERBE (Michel Clavel)
SCIE + TRONC = FRUIT (Michel Clavel)
CHAT + POT = BIBI (Michel Clavel)
BON + WEEK + END = ADIEU (Philippe Deschamp)

DEUX + NEUF = ONZE (Nicolas Graner)
HUIT + HUIT = SEIZE (Nicolas Graner)
UN + UN + NEUF = ONZE * (classique)
UN + UN + UN + UN + UN + UN = SIX (Nicolas Graner)
ZERO + TROIS + TREIZE + TRENTE = NOMBRES * (Eric Angelini)
(c'est la seule somme de nombres distincts qui donne le mot NOMBRES et possède une solution unique)

QUART + QUART + QUART + QUART = ENTIER * (Eric Angelini)
QUATRE + QUARTS = ENTIER * (Eric Angelini)
PLUS + PLUS = MOINS (Michel Clavel)

Ceux-ci font allusion à ce que le nom "Bach" vaut 14 si on additionne les rangs de ses lettres (B=2, A=1, C=3, H=8), ce qui revêtait une grande importance pour le compositeur :
SEPT + SEPT = BACH (Gilles Esposito-Farèse)
DEUX + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX + DEUX = BACH (Gilles Esposito-Farèse)
SIEBEN + SIEBEN = JSBach * (Rémi Schulz)

MOI + TOI + LUI + ELLE = NOUS (Philippe Deschamp)
(de même : MOI+TOI, MOI+LUI, MOI+ELLE MOI+TOI+LUI, MOI+TOI+ELLE et MOI+LUI+ELLE peuvent tous être égaux à NOUS)
MOI + TOI = ZERO (Michel Clavel)
TOI + LUI + ELLE = VOUS (Philippe Deschamp)
(de même : TOI+TOI, TOI+LUI, TOI+ELLE, TOI+EUX et TOI+EUX+ELLE = VOUS)
LUI + LUI + LUI + LUI + LUI + LUI + LUI = EUX * (Philippe Deschamp)
(également une solution unique avec six fois "LUI" au lieu de sept, et des solutions multiples avec deux à cinq fois "LUI")

CARTE + CARTE + CARTE + CARTE + CARTE = POKER * (Eric Angelini)
AS + AS + TROIS + TROIS = PAIRES * (Eric Angelini)
ROI + ROI + VALET + VALET = PAIRES * (Eric Angelini)
ROI + ROI + TROIS + TROIS = PAIRES * (Eric Angelini)
SIX + SEPT + HUIT = SUITE * (Eric Angelini)
DEUX + DEUX + HUIT + HUIT + HUIT = FULL * (Eric Angelini)
NEUF + NEUF + CINQ + CINQ + CINQ = FULL * (Eric Angelini)
VALET + VALET + VALET + VALET = CARRE * (Eric Angelini)
DAME + DAME + DAME + DAME = CARRE * (Eric Angelini)

MERCI + MERCI + ... + MERCI = Nicolas [avec 568 "MERCI"] * (Eric Angelini)
(il y a aussi une solution unique pour certains nombres inférieurs de MERCI)
Nicolas + Graner = NEGLIGE (Nicolas Graner)
Signé + Nico = Graner * (Nicolas Graner)

Si vous en trouvez d'autres en français, je suis preneur !

Quel est le plus long cryptarithme ?

Le 29 novembre 2005, Éric Angelini annonça qu'il avait découvert (avec l'aide de Don Reble) un cryptarithme à solution unique comportant plus de neuf septillions de termes ! Ce record est présenté et expliqué en détail sur le site d'Éric.

La question se posa alors de savoir s'il existait des cryptarithmes de longueur aussi grande que l'on veut. En s'appuyant sur le résultat précédent et sur la nomenclature de Conway et Wechsler qui permet de donner un nom à tous les nombres entiers sans aucune limite, Patrick Coilland a répondu positivement le 4 décembre 2005. Son cryptarithme extensible à l'infini se présente ainsi :

UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION + HUIT + ZERO + ZERO + ... + ZERO = UN_TRILLINILLINILLI...NILLITRILLION_HUIT
(Le caractère "souligné" relie les mots qui sont normalement séparés dans l'écriture des nombres mais doivent être accolés pour le cryptarithme.)

L'élément NILLI apparaît p fois dans chacun des grands nombres, et le mot ZERO apparaît 573065554043040430...40430881555640 fois (la suite 40430 figure p fois dans ce nombre). Pour chaque valeur de p on obtient un cryptarithme différent, donc la solution unique est :

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
N	Z	I	H	O	E	L	T	R	U

Trois jours plus tard, Patrick Coilland améliorait encore cette performance avec un cryptarithme extensible à l'infini n'utilisant pas le ZERO ! Ce cryptarithme "parfait" (forme "classique" avec une somme à gauche et un seul terme à droite, solution unique, pas de ZERO et nombre de termes non limité) se présente ainsi :

UN + UN + ... + UN + SIX + SIX + ... + SIX + SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS = SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS_SIX_TRILLINILLINILLI...NILLIMILLIONS

où les nombres de UN, de SIX et de NILLI doivent respecter des relations précises qui sont explicitées au bas de la page déjà citée d'Éric Angelini.

Autres exemples.

Les exemples suivants ne peuvent pas être vérifiés sur la présente page car ils ne sont pas de simples additions avec un seul nombre à droite du signe "=", mais ils méritent tout de même d'être retenus.

UN + TROIS = DEUX + DEUX (Eric Angelini)
SIX × CINQ = TRENTE * (Eric Angelini)
DIX × ONZE = CENTDIX * (Eric Angelini)
ABOLI - BIBELOT + INANITE + SONORE = ... * (Gilles Esposito-Farèse)
(on pourrait également écrire : ABOLI + INANITE + SONORE = BIBELOT, mais la référence au sonnet de Mallarmé serait moins claire et on perdrait l'idée de "silence" exprimée par le membre de droite vide)

Liens.

Il existe de très nombreux sites Web en anglais consacrés aux cryptarithmes, avec ou sans possibilité de les résoudre "en ligne". Vous pouvez commencer par exemple par celui de Naoyuki Tamura puis suivre ses liens.

Robert B. Israel propose même une applet pour résoudre des cryptarithmes faisant intervenir les quatre opérations et les puissances.

Pour composer vos propres cryptarithmes avec les mots qui vous intéressent, voyez le site de Truman Collins. Il comprend un générateur de problèmes très puissant ainsi qu'une vaste collection de cryptarithmes, y compris certains trouvés dans la Bible ou les oeuvres de Shakespeare.